Povijesni pregled kao uvod

U XIX stoljeću fizika je doživjela fenomenalan napredak. Razvoj elektriciteta i magnetizma koji je doveo do Maxwellove elektromagnetske teorije polja, uključenje optike među elektromagnetske fenomene koje je time bilo omogućeno, dovođenje klasične mehanike gotovo do savršenstva, utemeljenje i razvoj termodinamike i statističke fizike, formuliranje mnogih univerzalnih principa fizike kao što je zakon o sačuvanju energije - sve su to samo neki sjajni primjeri napretka fizike u to vrijeme. Doduše, oni najveći umovi, i to baš oni koji su davali najvažnije i najveće pridonose razvoju i razumijevanju fizike, nisu se uspavali samozadovoljstvom, a još manje prepustili osjećaju trijumfa. Znali su upozoravati na teškoće za koje su uviđali da nisu samo tehničke već bitne prirode. Da ostanemo pri Maxwellu, iznesimo primjer jednog od njegovih velikih uspjeha, naime razvoj kinetičke teorije plinova kojom je objasnio mnogo toga: Boyleov zakon, viskoznost plinova, teoriju difuzije, itd. Međutim, s $\hat{\rm a}$m Maxwell je pritom uvijek isticao kako se njome baš nikako ne mogu objasniti toplinski kapaciteti plinova i upozoravao je da je to fundamentalna teškoća te inače spektakularno uspješne teorije. Dakle, oni najdublji umovi među znanstvenicima znali su prepoznati bitne strukturne greške, one važne pukotine u zgradi koju su baš oni u mnogome izgradili, a koje su razriješene tek kasnijim uvođenjem kvantne mehanike.

Ipak, među daleko najvećim brojem fizičara i drugih znanstvenika pri kraju devetnaestog stoljeća, bio je vrlo raširen osjećaj da je razvoj fizike kao fundamentalne znanosti pri kraju jer da je - tako su mnogi mislili - sve bitno već otkriveno, da su svi fizikalni zakoni već poznati i da će se pomoću njih razriješiti svi preostali neriješeni problemi. Ironično nas se danas doima to da je osnivača kvantne mehanike Maxa Plancka njegov mentor nastojao odvratiti od nastavka karijere u teorijskoj fizici, jer je po njegovoj ocjeni teorijska fizika već bila zatvorena disciplina u kojoj se više ne može otkriti nešto bitno novo. Dobro je što Max Planck nije poslušao taj savjet jer se ubrzo pokazao vrlo pogrešnim. Naime, do početka XX stoljeća nagomilalo se mnogo eksperimentalnih otkrića od fundamentalne važnosti koja se nikako nisu mogli uklopiti u okvir do tada poznate fizike, pa je postalo jasno da je ta fizika - koju danas zovemo klasičnom - zapravo vrlo nekompletna. Ta kriza klasične fizike je bila razriješena s jedne strane formuliranjem teorije relativnosti, a s druge otkrićem kvantne mehanike. Ovdje je upravo ovo drugo predmet našeg interesa.

Temelji kvantne mehanike bili su položeni eksperimentima izvedenim krajem devetnaestog i početkom dvadesetog stoljeća u raznim granama fizike, kao npr. atomska spektroskopija, proučavanje zračenja crnog tijela i strukture atoma, kao i fizike čvrstog stanja, fotoelektričnog efekta itd. Do konca XIX stoljeća nakupilo se mnogo eksperimentalnih podataka o atomskim spektrima. Ti su podaci pokazali da se atomski spektri sastoje od skupova (serija) diskretnih linija. Balmer je 1885. g. otkrio da se valne duljine $\lambda_n$, odnosno frekvencije $\nu_n$, serije spektralnih linija ( n=3, 4, 5, 6, ...) iz vidljivog dijela spektra atoma vodika mogu opisati zapanjujuće točno zajedničkom formulom

$$\lambda_n = b \,\frac{n^2}{n^2 - 2^2} \,\qquad (b = 3645,6 \,{\rm\AA}).$$ (1.1)

Ona je posebno jednostavna u Runge-Rydbergovom obliku za frekvencije,

$$\nu_n = \frac{4 c}{b}\, ( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2}) \, \qquad (n > 2),$$ (1.2)

gdje je c brzina svjetlosti a konstanta $4c/b = 3.289\times 10^{15}$ s^-1.

Rydberg, Kaiser i Runge iscrpno su proučavali spektre raznih atoma koncem XIX stoljeća. Lyman je 1904. otkrio seriju spetkralnih linija vodika koje su padale u ultraljubičasti dio spektra, a Paschen 1909. vodikovu seriju u infracrvenom dijelu. Fascinantno je bilo to da se Lymanovu i Paschenovu seriju moglo opisati formulama vrlo sličnim onoj koju je ranije pronašao Balmer za vidljivi dio spektra. Općenito, za n-tu spektralnu liniju u m-toj seriji, frekvencija elektromagnetskih valova emitiranih iz atoma vodika je

$$\nu_{mn} = \frac{4 c}{b}\, ( \frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2}) \equiv T_m \, - \, T_n \, \qquad (m,n \in {\bf\rm N}, \, n > m).$$ (1.3)

(m = 1 odgovara Lymanovoj seriji, m = 2 Balmerovoj, m = 3 Paschenovoj, itd.). Uočavajući te pravilnosti među raznim serijama vodikovog atoma, Ritz je 1908. formulirao svoj slavni kombinacioni princip, koji vrijedi ne samo za vodik, nego i za atome drugih elemenata, iako za njih termovi T_m, T_n, nisu tako jednostavni kao oni vodikovi definirani u formuli (1.3). Prema tom principu, nove se spektralne linije mogu naći kao aditivne ili suptraktivne kombinacije dvije već poznate spektralne linije na način

$$\nu_{mn} = \nu_{mn'}\, - \, \nu_{nn'} = (T_m \, - \, T_{n'}) - \, (T_n \, - \, T_{n'} ) = T_m \, - \, T_n \, .$$ (1.4)

Naravno, danas to razumijemo kao jednostavnu posljedicu emisije elektromagnetske energije zbog prelaska elektrona iz n-tog u m-ti diskretni energetski nivo atoma. Međutim, sve do 1913. tu njegovu formulu se nije moglo objasniti i priroda postanka spektralnih linija je sve do tada ostala posve nejasna.

Proučavajući zračenje crnog tijela Wien je 1896. izveo formulu koja se slagala s eksperimentalnim podacima za zračenja visokih frekvencija. Međutim, ta je formula bila neprimjenjiva za niže frekvencije. Rayleigh je 1900. izveo formulu koja se dosta dobro slagala s eksperimentom za niske frekvencije (Rayleigh-Jeansov zakon), ali je davala apsurdne rezultate za više frekvencije (tzv. ``ultraljubičasta katastrofa"). Da bi opisao eksperimentalne rezultate za zračenje crnog tijela preko cijelog raspona frekvencija, od niskih preko srednjih do visokih, Planck je 1900. predložio svoju slavnu, empirički točnu formulu koja je prelazila u Wienovu odnosno Rayleighovu formulu kao granične slučajeve za limese visokih odnosno niskih frekvencija zračenja. Ta Planckova formula je sadržavala jednu novu konstantu h, koju je on nazvao elementarnim kvantom akcije. Planck je naime shvatio da ako je njegova nova teorija radijacije zasnovana na fizikalnim idejama, taj kvant akcije h mora igrati fundamentalnu ulogu u fizici, i to tako da se reformuliraju dotadašnji pojmovi koji su se zasnivali na ideji kontinuiranosti. Planck je naime zaključio da ukoliko se želi objasniti odnosno izvesti njegova formula koja je točno opisivala zračenje crnog tijela, mora se pretpostaviti da atomi zrače energiju samo u diskretnim količinama, kvantima. Energija pojedinog kvanta elektromagnetskog zračenja mora biti jednaka $h \nu$, gdje je $\nu$ frekvencija elektromagnetskog zračenja.

Planckovo otkriće diskretnih kvanta energije elektromagnetskog zračenja bilo je u oštroj suprotnosti s klasičnom teorijom, što je duboko uznemiravalo i samog Plancka pa je naknadno čak nastojao formulirati neke hibridne verzije svoje kvantne teorije kako bi je približio klasičnoj fizici koliko mu se samo činilo mogućim. Međutim, radikalna formulacija kvantne fizike je dobivala sve više potvrda. 1905. g. Einstein je pomoću nje dao brilijantno objašnjenje foto-električnog efekta. 1917. g. Einstein je zaključio da svjetlosni kvanti posjeduju ne samo određenu energiju $h \nu$ već i određeni impuls $h \nu/c$. 1907. g. Einstein je uspješno primijenio ideju kvantizacije da bi riješio jedan važan problem u fizici čvrstog stanja koji je mnogo godina zbunjivao znanstvenike. To je bilo narušenje klasičnog Dulong-Petitovog zakona o toplinskom kapacitetu (specifičnoj toplini). Eksperimentalno nađena temperaturna ovisnost toplinskog kapaciteta krutina nije se mogla objasniti u okvirima klasične teorije. Konačno je Einstein 1907. primijenio Planckovu ideju kvantizacije elektromagnetskog zračenja na energiju vibracija kristalne rešetke. Tako je uspio teoretski izvesti temperaturnu ovisnost toplinskog kapaciteta krutina koja se slagala s eksperimentom i time položio jedan od temelja moderne teorije čvrstog stanja.

Otkrićem radioaktivnosti brzo je došlo i do upotrebe radioaktivnih $\alpha$-, $\beta$-, kao i elektromagnetskih (osobito $\gamma$- i X-) zraka u eksperimentima koji su počeli naročito uspješno počeli razotkrivati strukturu materije. Tako je uočeno da ako se tanke metalne folije bombardira snopovima $\beta$-čestica, t.j. elektrona, ti elektroni skreću vrlo malo ili nikako. Lenard je zato istakao, da električno negativne $\beta$-čestice gotovo ništa ne zaustavlja pri prolazu kroz atom - dakle, da je najveći dio prostora unutar atoma prazan. Geiger i Marsden su 1908. započeli proučavati raspršenja $\alpha$-čestica na tankim folijama teškog metala, konkretno zlata. Otkrili su da većina $\alpha$-čestica prođe kroz folije bez otklona, tj. da se ne rasprši, dok su neke $\alpha$-čestice - otprilike jedna od deset tisuća - vrlo snažno skrenute (za kut veći od $90^\circ$). Rutherford je 1911. zaključio da se takvi jaki odboj pojedinih $\alpha$-čestica događaju ne kao rezultat mnogih sudara nego jednog sudara s jednim jedinim atomom. Budući da su tako odbijene $\alpha$-čestice rijetke u odnosu na broj onih, koje uopće nisu otklonjene i koje kao da su prošle kroz prazan prostor, mora biti da su centri raspršenja smješteni u vrlo malom prostoru u središtu atoma, da su vrlo teški u odnosu na $\alpha$-čestice pa je dakle u njima skoncentrirana gotovo sva masa atoma, te da im je naboj istog predznaka kao $\alpha$-česticama, tj. pozitivnog. Rutherford je taj zaključak štoviše uspio kvantitativno precizirati izvodom tzv. Rutherfordovog udarnog presjeka, pokazavši da se eksperimentalna kutna raspodjela zaista slaže s onom, koja se teorijski dobije iz pretpostavke da $\alpha$-čestice interagiraju s masivnim centrima raspršenja naboja + Z e. Zahvaljujući tom zaključku Rutherford je 1913. formulirao svoj planetarni model atoma prema kojem oko u atomskim razmjerima sićušne, teške i pozitivno nabijene jezgre kruže lagani, negativno nabijeni elektroni koji čine atom električno neutralnim. Međutim, nije bilo jasno zašto ti elektroni kružeći ne zrače, time ne gube energiju i konačno ne padnu na jezgru.

I tako, od kraja XIX stoljeća do 1913. godine, nakupio se velik broj eksperimentalnih rezultata koji se nisu mogli objasniti na temelju postojeće teorije: otkriće diskretnih linija poredanih u pravilne serije u atomskim spektrima, fotoelektrični efekt, toplinski kapacitet plinova, toplinski kapacitet krutina i zračenje crnog tijela, sve je to ukazivalo na kvantizaciju energije. Nakon što je Rutherford predložio svoj planetarni model atoma, Niels Bohr je 1913. povezao sve te činjenice i ideje u prvu, ne sasvim ali ipak prilično konzistentnu kvantnu teoriju atoma. Povezujući planetarni model atoma s idejom kvantizacije, Bohr je dao zakon za frekvencije zračenja vodikovog atoma koji je objašnjavao Ritzov kombinacioni princip i Balmerovu formulu te omogućio izračunavanje Rydbergove konstante. Bohrovu teoriju, ili točnije Bohrov model, je dalje uspješno razvijao i poopćavao i on sam kao i Sommerfeld, Debye i drugi. Idejom "kvantnih skokova" između raznih kružnih ili eliptičnih "planetarnih orbita" elektrona u atomu uspjelo se objasniti i sistematizirati golem eksperimentalni materijal o spektralnim linijama. Isto tako, formuliranjem principa korespondencije postalo je jasno da kvantna teorija daje u makroskopskom limesu klasičnu fiziku.

Međutim, do 1922., unutrašnje inkonzistencije i ograničenja te tzv. ``stare kvantne teorije" postala su očigledna. Novi razvoj bio je potaknut idejama o valno-čestičnoj dvojnosti prirode kvantnih objekata.

Otkriće Comptonovog efekta 1923., koji se tiče promjene valne duljine $\gamma$-zraka nakon raspršenja na česticama materije (elektronima), jasno je ukazalo da elektromagnetska radijacija uz valna ima u izvjesnom smislu i čestična svojstva. Točnije, kvanti elektromagnetskog zračenja, fotoni, imaju i čestična svojstva i moraju se svrstati među elementarne čestice. De Broglie je 1923-24. predložio da se valno-čestična dvojnost (dualnost) protegne na sve mikročestice, tj. da su i valna i čestična svojstva pridružena svakoj čestici. (Te su ideje dobile čvrstu eksperimentalnu potvrdu 1927. kad su Davisson i Germer i još neki istraživači pronašli interferenciju elektrona upotrebljavajući kristale kao fine difrakcione rešetke.) 1925. de Broglie je uveo pojam "valna funkcija". Iduće 1926. godine, Schrödinger je uveo svoju valnu diferencijalnu jednadžbu za valnu funkciju. Time je pokazao kako se kvantizaciji može pristupiti kao problemu svojstvenih vrijednosti jer su valne funkcije koje opisuju neki sistem svojstvene funkcije Schrödingerove jednadžbe za taj sistem, a odgovarajuće svojstvene vrijednosti su upravo energije koje može imati taj sistem. Schrödingerova "valna mehanika" je prihvaćena s oduševljenjem jer je omogućila da se kvantno-mehaničkim problemima sistematski pristupa dobro poznatim i jasno definiranim metodama matematičke fizike. Međutim, ispravno tumačenje fizikalnog smisla valne funkcije uzelo je još neko vrijeme. Nije se npr. ispunilo očekivanje samog Schrödingera da je kvadrat valne funkcije naprosto gustoća naboja elektrona, niti vrlo slično de Broglievo ranije tumačenje da su to "valovi materije", a oboje bi kvantnu valnu mehaniku približilo klasičnoj fizici valnih pojava. Razbistravanju fundamentalnih pojmova naravno je vrlo pomoglo i to što je bio formuliran još jedan pristup kvantnoj fizici, naime Heisenbergova ``matrična mehanika". Ona je zapravo predložena i prije Schrödingerove valne mehanike, kada je 1925. Heisenberg (uz kasniju pomoć Borna i Jordana) svakoj kvantiziranoj dinamičkoj varijabli pridružio matricu čije su svojstvene vrijednosti u stvari eksperimentalno opažene vrijednosti dotične varijable. Tim pristupom se spektar vodikovog atoma zapravo riješio prije nego preko Schrödingerove valne jednadžbe, iako je ovo posljednje tehnički lakše. Također je značajno da se Heisenbergove matrične jednadžbe gibanja mogu formalno povezati s klasičnim jednadžbama ako se Heisenbergovi komutatori matrica poistovjete s Poissonovim zagradama u kanonskim jednadžbama gibanja klasične mehanike.

U prvi čas je izgledalo da je 1926. pojavom Schrödingerove valne mehanike Heisenbergova matrična mehanika dobila kao alternativu posve nezavisnu i različitu teoriju. Međutim, već iste godine Schrödinger je pokazao da su obje te teorije u stvari ekvivalentne, tj. da su to samo dva različita pristupa istom problemu, dvije različite formulacije iste, kvantne teorije. (Na primjer, bilo da se radi o diferencijalnoj ili matričnoj jednadžbi, računanje energetskih nivoa vezane mikročestice (elektrona) reducirao se na matematički jasno definiran problem nalaženja svojstvenih vrijednosti.)

Konačno, što se tiče fizikalnog značenja valne funkcije, Born je 1927. predložio njenu probabilističku interpretaciju koja je izbjegla kontradikcije kakve su mučile druge interpretacije i koja je izdržala sve kritike i testove i ubrzo postala općeprihvaćena. Valna je funkcija po Bornu matematički opis valova vjerojatnosti, a ne valova materije. Drugim riječima, valnu funkciju u nekoj točki možemo interpretirati kao amplitudu vjerojatnosti i njen apsolutni kvadrat povezati s gustoćom vjerojatnosti nalaženja elektrona, a ne s gustoćom elektronskog naboja ili gustoćom elektronske materije u toj točki, pa se de Broglievi valovi ne mogu opisati kao neka vrsta klasičnih valova.

1927. je Heisenberg uveo u kvantnu teoriju i svoje relacije neodređenosti koje kažu da nije moguće do proizvoljne preciznosti odrediti istovremeno sve varijable koje karakteriziraju mikročestice, već samo neke. Na primjer, što preciznije elektronu određujemo njegov položaj, to veću neodređenost unosimo u njegov impuls, i obratno. Te relacije od najdublje fundamentalne važnosti znače konačni raskid kvantne mehanike s klasičnim determinizmom kakav vlada u klasičnoj mehanici ili elektromagnetizmu, te fundiranjem kvantne mehanike kao teorije probabilističkog statističkog tipa.

Već prije 1927. izvršena su i neka druga otkrića koja nismo još spomenuli, a od fundamentalne su važnosti za kvantnu fiziku, kao npr. otkriće spina elektrona, Bose-Einsteinove i Fermi-Diracove kvantne statistike, Paulijevog principa isključenja za fermione i dr. Tako možemo reći da je do 1927. uglavnom zaokružen onaj fundamentalno- konceptualno-filozofski okvir nerelativističke kvantne mehanike, iako su neki takvi aspekti još uvijek predmet proučavanja i rasprava, kao npr. teorija mjerenja. Naravno, razvoj kvantne mehanike u smislu iznalaženja novih metoda i primjena je vrlo dinamičan i danas, a zbog goleme primjenjivosti u područjima kao što su kemija, znanost o materijalima ili elektronika, ostat će to i ubuduće.

Priroda se međutim pokazala toliko bogata u svojoj pojavnosti da je i kvantna mehanika nedovoljna da bi opisala sve fundamentalne fenomene. Zato se moralo prijeći i njene okvire, baš kao što je ona nastala transcendiranjem klasične fizike. Ta proširenja su relativistička kvantna mehanika i kvantna teorija polja, koje su međutim vrlo opsežne i izlaze iz okvira ovog kursa, čiji je predmet nerelativistička kvantna fizika.