Kočenje motociklom


Kočenje stražnjom kočnicom
Kočenje prednjom kočnicom
Kočenje objema kočnicama


Potrebno je odrediti maksimalno usporenje motocikla koje se može postići kočeći samo stražnjom, samo prednjom ili objema kočnicama. Udaljenost dodirnih točaka dvaju kotača motocikla s tlom – iznosa L – te položaj zajedničkoga težišta motocikla i vozača – na visini H od tla – među bitnim su parametrima za pristup ovome problemu. Kao što je prikazano na Slici 1, projekcija težišta na tlo udaljena je za xL od uporišta prednjeg kotača (0 < x < 1). Također je nitno poznavati koeficijent trenja µ₁ između prednje gume i ceste te koeficijent trenja µ₂ stražnje gume.


Slika 1 – Pojednostavljena geometrija motocikla. Naznačene su sile,
u sustavu samog motocikla, prisutne tijekom kočenja.


Problem promatramo iz neinercijalnog sustava samog motocikla. Na Slici 1 prikazane su sile koje djeluju na motocikl – reakcije podloge N₁ i N₂, sile trenja F_tr⁽¹⁾ i F_tr⁽²⁾, težina mg te translacijska inercija ma. Pri tome je m ukupna masa motocikla i vozača, g ubrzanje slobodnog pada, dok je a akceleracija, odnosno usporenje motocikla. Iz zahtjeva za iščezavanjem ukupne sile unutar neinercijalnog sustava motocikla slijedi:

(1)

za vertikalne komponente, dok za horizontalne vrijedi:

(2)

uz F_tr kao ukupnu silu trenja kojoj će F_tr i F_tr doprinositi ovisno o pojedinom slučaju. Prisutan je i dodatan zahtjev za iščezavanjem ukupnog momenta sile kako pri kočenju ne bi došlo do prevrtanja motocikla preko prednjeg kotača. Dok je ovaj zahtjev pri kočenju stražnjom kočnicom prirodan, pri kočenju prednjom bit će nametnut. Postavimo li ishodište za izračun momenta sile u točku uporišta prednjeg kotača s tlom, možemo zapisati:

(3)

Kut α₀ pod kojim se nalazi centar mase sustava označen je na Slici 1. Članovi s lijeve strane jednadžbe teže podignuti čitav motocikl preko prednjeg kotača, dok je član s desne strane zadužen za njegovo zadržavanje na tlu. Budući da reakcija podloge N₁ djeluje iz točke ishodišta za račun momenta sile, njen doprinos nije prisutan zbog iščezavanja kraka sile. Vektori obiju sila trenja F_tr⁽ⁱ⁾ (i = 1; 2) kolinearni su s pripadnim krakovima sile r⁽ⁱ⁾, stoga i njihov doprinos momentu sile definiranome vektorskim produktom iščezava:

(4)

Iščitavanjem geometrijskih definicija trigonometrijskih članova iz (3) sa Slike 1:

(5)

izraz (3) pojednostavljuje se u:

(6)

Kočenje stražnjom kočnicom


Pri kočenju samo stražnjom kočnicom, u izrazu (2) pojavljuje se samo doprinos trenja stražnje gume s tlom:

(7)

Iznos trenja moguće je regulirati jačinom pritiska na papučicu stražnje kočnice. Razumno je pretpostaviti da će usporenje biti maksimalno u slučaju maksimalnoga trenja koje je moguće postići, a koje je dano umnoškom koeficijenta trenja i reakcije podloge:

(8)

Izražavanjem N₂ iz (6):

(9)

te uvrštavanjem u (8) uz pretpostavku a = a_max:

(10)

za maksimalno usporenje slijedi rješenje:

(11)

Pri usporenju inercijalna sila prenosi dio težine motocikla na prednji kotač, pri čemu slabi kontakt stražnje gume s tlom, odnosno reakcija podloge N₂ opada, što je i jasno vidljivo iz izraza (9). Stoga se postavlja sasvim legitimno pitanje je li usporenje iz (8) doista maksimalno za maskimalnoga trenja, s obzirom da je tada reakcija podloge najslabija. Da bismo odgovorili na ovo pitanje, parametrizirajmo zaista primjenjenu silu trenja efektivnim koeficijentom trenja µ_eff⁽²⁾ na način:

(12)

pri čemu µ_eff⁽²⁾ može poprimiti vrijednosti s intervala 0 ≤ µ_eff⁽²⁾ ≤ µ₂. Po uzoru na izraz (11), usporenje za proizvoljno primjenjeno trenje jednako je:

(13)

Da bismo odredili može li usporenje biti maksimalno za µ_eff⁽²⁾ < µ₂, provjerit ćemo postoje li lokalni maksimumi prethodnog izraza:

(14)

Uvjet na iščezavanje derivacije iz (14) zahtijeva gxL² = 0 što je nemoguće postići variranjem µ_eff⁽²⁾. Prema tome, izraz (13) nema lokalnih maksimuma, stoga je za maksimalnog primjenjivog trenja (µ_eff⁽²⁾ = µ₂) usporenje doista maksimalno.


Naposlijetku, zanimljivo je uočiti da i za proizvoljno velik koeficijent trenja postoji gornja granica na usporenje koje se može postići kočeći samo stražnjom kočnicom:

(15)

čemu je uzrok ranije spomenut gubitak doticaja stražnje gume s podlogom.



Kočenje prednjom kočnicom


U slučaju kočenja samo prednjom kočnicom, izrazu (2) doprinosi jedino trenje prednje gume s podlogom:

(16)

Ispočetka ćemo pretpostaviti proizvoljno primjenjeno trenje:

(17)

parametrizirano efektivnim koeficijentom trenja µ_eff⁽¹⁾:

(18)

Unaprijed je potrebno predvidjeti postojanje dvaju kvalitativno različitih slučajeva:
1° oba kotača su na tlu, pri čemu za kut α označen na Slici 1 vrijedi:

(19)

2° motocikl se podigao na prednji kotač, pri čemu je stražnja guma potpuno izgubila doticaj s podlogom:

(20)

Slučajeve rješavamo redom:
1° Za oba kotača na tlu, N₂ možemo izraziti iz (1):

(21)

te zajedno s (16) i (17) uvrstiti u (6):

(22)

Za reakciju podloge N₁ preostaje:

(23)

dok za pripadno usporenje:

(24)

Kako µ_eff⁽¹⁾ raste, brojnik također raste, dok se nazivnik smanjuje, stoga je sasvim očito da je – u smislenome podrućju definiranome s a(µ_eff⁽¹⁾) ≥ 0 – (24) monotono rastuća funkcija. Prividna mogućnost divergencije prethodnoga izraza uklonjena je fizikalnim zahtjevom:

(25)

iz kojega uvrštavanjem (23) u (25) slijedi:

(26)

Kako se maksimum izraza (24) postiže za najvišu dozvoljenu vrijednost µ_eff⁽¹⁾, tada je za stvarni koeficijent trenja µ₁ takav da vrijedi µ₁ ≤ xL / H, maksimalno usporenje jednako:

(27)

Slučaj µ₁ ≥ xL / H potpada pod domenu sljedećeg razmatranja.
2° Budući da je za µ₁ ≥ xL / H trenje između gume i ceste dovoljno da podigne motocikl na prednji kotač, potrebno je provjeriti može li se za α > α₀ postići snažnije usporenje nego li za α = α₀. Da bismo to odredili, u (3) uvrštavamo uvjet N₂ = 0 iz (20):

(28)

odakle izravno slijedi:

(29)

Zanimljivo je primjetiti da sada usporenje ni na koji način ne ovisi o koeficijentu trenja µ₁, što je izravna posljedica zahtjeva da, jednom kada je kut α postignut, ne smije doći do daljnjeg prevrtanja motocikla oko prednjeg kotača. Drugim riječima, da bi se održao stalan kut α, primjenjena sila kočenja ne može biti proizvoljna, već parametrizirana točno određenom vrijednošću efektivnog koeficijenta trenja:

(30)

Vratimo li se izrazu (29), primjećujemo da s povećanjem α, odnosno podizanjem motocikla na prednji kotač usporenje opada, s obzirom da je za α < π / 2 tangens monotono rastuća funkcija.


Krajnji zaključak koji se nameće je da, neovisno o iznosu stvarnog koeficijenta trenja µ₁, usporavanje prednjom kočnicom je maksimalno dokle god su oba kotača na tlu: α = α₀. Pri tome se za µ₁ ≤ xL / H maksimum postiže pri punome trenju koje je uopće moguće postići, dok za µ₁ ≥ xL / H pri maksimalnome trenju za kojega još ne dolazi do podizanja stražnjeg kotača, tj. uz primjenjeni µ_eff⁽¹⁾ = xL / H. Konačno, potpuno rješenje za maksimalno usporenje samo prednjom kočnicom možemo zapisati kao:

(31)

Kočenje objema kočnicama


Pri kočenju objema kočnicama, usporavanju doprinose trenje i prednje i stražnje gume:

(32)

Iz analize prethodnih dvaju slučajeva unaprijed znamo da oba kotača moraju biti na tlu. Ponovno pretpostavljamo efektivne koeficijente trenja, odnosno proizvoljno primjenjeno trenje:

(33)

Iz (1) iščitavamo reakciju podloge N₁:

(34)

koja nakon uvrštavanja u (33):

(35)

vodi na izraz za reakciju podloge N₂:

(36)

Uvrštavanjem prethodnog rješenja u (6), znajući da vrijedi α = α₀:

(37)

slijedi ovisnost usporenja o primjenjenim silama kočenja:

(38)

Da bismo odredili maksimum prethodnog izraza, provjerit ćemo postojanje lokalnih ekstrema. Uvjet njihovog postojanja zahtijeva:

(39)

Deriviranje po µ_eff⁽¹⁾:

(40)

vodi na zahtjev:

(41)

koji ne može biti zadovoljen za pozitivan µ_eff⁽²⁾. Prema tome, ne postoji lokalni maksimum ovisan o kočenju prednjom kočnicom. Nadalje, deriviranjem po µ_eff⁽²⁾:

(42)

preostaje:

(43)

Ovaj zahtjev može biti zadovoljen samo u slučaju kada je stvarni koeficijent trenja µ₁ prednje gume s tlom dovoljno velik da omogući traženu vrijednost iz (43), tj. µ₁ ≥ xL / H. U suprotnome slučaju, predznak derivacija iz (40) i (42):

(44)

jamči da usporenje monotono raste s povećanjem kočionih sila obiju kočnica. Prema tome, za µ₁ < xL / H kočenje je maksimalno tijekom najviših primjenjenih sila trenja dviju kočnica, a koje se postižu za µ_eff⁽¹⁾ = µ₁ te µ_eff⁽²⁾ = µ₂. Ako je, pak, vrijednost traženu uvjetom (43) moguće postići, tada uvrštavanjem µ_eff⁽¹⁾ = xL / H u (38) preostaje:

(45)

što je rezultat poptuno neovisan o kočionoj sili stražnje kočnice. Ovakav ishod već nam je otprije poznat iz (31) kao kočenje samo prednjom kočnicom pri kojem dolazi do potpunog gubitka doticaja stražnje gume s tlom, čime je objašnjen nestanak doprinosa stražnje kočnice iz (45). Konačno, potpuno rješenje za maksimalno usporenje objema kočnicama jednako je:

(46)

Činjenica da su dva rješenja iz (46) uvjetovana jedino koeficijentom trenja prednje gume vodi na ukupni zaključak prethodne analize: usporenje je maksimalno kada je postignuto najučinkovitije kočenje prednjom kočnicom! Ako pri tome maksimalna kočiona sila prednje gume nije dovoljna za odvojiti stražnji kotač od tla, tada je potrebno maksimizirati učinak svake kočnice zasebno!


Slika 2 prikazuje primjer preklopljenih rješenja (11), (31) i (46) za usporenje pri kočenju stražnjom, prednjom te objema kočnicama, respektivno. Za koeficijente trenja prednje i stražnje gume pretpostavljeno je da su jednakog iznosa µ, odnosno µ₁ = µ₂ = µ. Uz g = 9.81 m/s², za preostale parametare izabrane su vrijednosti: L = 1.5 m, H = 0.6 m te x = 0.5.



Slika 2 – Maksimalno usporenje pri kočenju stražnjom, prednjom te objema kočnicama
u ovisnosti o jednakome koeficijentu trenja obiju guma (µ₁ = µ₂ = µ).
L = 1.5 m; H = 0.6 m; x = 0.5; g = 9.81 m/s²