Oni koji su u mogućnosti voziti motocikle vrlo visokim brzinama često govore o tome kako im se tada pričinja da se cesta pred njima sužuje. Takav vizualni efekt se mora voditi po određenim zakonima (geometrijske) optike, stoga bi se takvu pojavu moralo moći jasno matematički opisati. Taj opis je upravo tema ovoga teksta. Za početak, u relativističkoj fizici postoji sličan efekt sužavanja slike pred promatračem u singularnu točku, ali svi relativistički efekti postaju zamjetni tek pri brzinama vrlo bliskim svjetlosnoj. Stoga takvo objašnjenje očito nije prikladno za naš slučaj. Možemo zaključiti da ako se razlog ne nalazi u opažanome (objektu ili svjetlosti), moramo ga potražiti u opažaču. U tom slučaju postaje poprilično jasno da bi npr. tromost oka / mozga mogla prouzročiti baš takve prividne pojave. Osnovi i najteži zadatak je postaviti model koji bi povezao te fiziološke fenomene sa spomenutim vizualnim efektima.

Slika 1 – Promatračev pogled na cestu

Prvo i osnovno je odrediti zašto u mirovanju vidimo da se cesta, čiji se rubovi inače paralelno pružaju u daljinu, sužuje, a njeni rubovi u daljini konvergiraju u točku. To postaje jasno sa Slike 1. Naime, slika iz daljine se projicira u oko duž (svjetlosnih) zraka koje čine spojnicu između slike i oka. Primjenom geometrije taj proces možemo svesti na slijedeći model: slika koju vidimo se prvo projicira na ravninu pred promatračem, a zatim dalje u oko - zato možemo zamisliti da ta ravnina predstavlja "ekran" s kojega promatramo dvodimenzionalnu projekciju svijeta ispred sebe. Ta analogija nam omogućuje da proces stvaranja slike u oku opišemo preko stvaranja slike na spomenutoj ravnini. Na Slici 1 ta ravnina je na proizvoljnoj udaljenosti od oka (u razini gdje cesta počinje). Neka su, dakle, rubovi ceste paralelni, razmaknuti za (širina ceste). Nadalje, neka promatrač procjenjuje da je na udaljenosti od njega širina ceste upravo . Tada će također procijeniti da je na udaljenosti cesta široka . Pitanje je: koja je veza između privida širine i udaljenosti promatranog segmenta ceste? Odgovor nam daje pravilo sličnosti trokuta putem kojega se lako iščitava omjer: Jednadžbu sređujemo radi eksplicitnog izraza za : Tu širinu, dakle, vidimo kad mirujemo. A sada ono bitno - što se događa kad se gibamo?

Tada u igru ulaze tromost oka i mozga. Recimo da oko "okida" svako malo. Opće je poznato da filmovi vrte 24 sličice u sekundi i da je to dovoljno da se zavara oko pa da ono vidi kontinuiran razvoj slike. Zato uzmimo da je period "okidanja" oka . Recimo da se gibamo unaprijed brzinom i da promatramo cestu na udaljenosti od sebe. Da je oko savršeno brzo, vidjeli bismo da joj širina iznosi . Ali to nije slučaj. Recimo da u trenutku 0 oko počne uočavati cestu, a u završi te zatim skupljene informacije šalje mozgu. Što se dogodilo u tijekom perioda ? Kad je oko "okinulo" za početak opažanja, promatrani dio ceste je bio na udaljenosti . Ali zbog toga što smo se kretali, kad je "okinulo" za završetak, taj dio nam se približio za , tj. našao se na udaljenosti: . Dakle, u periodu točka s ruba ceste je za promatrača prevalila put , a za oko se razmazala po tom intervalu. Kad takva informcija stigne u mozak, on pokušava od toga izgraditi čim oštriju sliku. Zbog toga mozak "procijeni" svojevrsnu "srednju vijednost / prosjek" toga gdje se točka nalazila tijekom . Najjednostavnija pretpostavka bi bila procjena da je točka bila na polovici prebrisanog intervala (). Naravno, što se brže gibamo, interval je duži, procjena je teža pa se zbog toga pri izuzetnim brzinama nejasno raspoznaju objekti. Konačno, u trenutku točka s ruba ceste se našla na udaljenosti: ali mozak misli (vidi) da je na: Dakle, mozak vidi da je čitava cesta pomaknuta unaprijed za , a dalje objekte uočavamo kao uže. I napokon dolazimo do tražene jednadžbe! Neka je prividna širina komada ceste na udaljenosti od promatača koji se giba naprijed brzinom . Tada je: Kada se u program Mathematica ubaci par parametara, među kojima brzinu od v = 260 km/h (72 m/s), on nam iscrta graf prikazan na Slici 2. Njime je crveno predstavljena cesta kakvu vidimo dok mirujemo, a zeleno prividno sužena zbog brzine.

Slika 2 – Privid ceste sa (zeleno) i bez (crveno) suženja

Na Slici 2 je interval grafa pažljivo odabran da bi rezultat bio automatski prepoznatljiv, usporediv s uobičajenim opažanjima. Kažemo uobičajenim jer vidni kut za normalnu percepciju pri kojoj se još donekle jasno raspoznaju detalji iznosi otprilike 130°. Strogo govoreći, oko ima potpuni vidni kut od punih 180°, ali uglavnom ne obraćamo svjesno pozornost na objekte van onih 130°. No upravo u tom području se odvija zanimljiva patologija.

Stoga je na Slici 3 prikazan oblik grafa funkcije na većem intervalu (dakle, viđenje širine ceste od razine samog oka pa do na veliku udaljenost). Zelena linija predstavlja gdje otprilike počinje rub ceste koji vidimo pri širini vidnog polja od 130°. Za veću udaljenost se jasno uočava asimptotska konvergencija rubova u točku. Ali ono što je zanimljivo je slijeva od zelene crte - privid ceste izvan donekle oštrog vidnog polja od 130° pa do punih 180°. Na tih 180° (što je zapravo udaljenost 0 od oka) uočavamo slučaj jednog singulariteta (divergencije u beskonačnost). I to nije ništa čudno - jer kako se određeni rub ceste približava oku, tako pomalo "bježi" iz vidnog polja - ali da bi potpuno izašao iz polja, prvo mora doći do granice na kojoj ono prestaje, a budući da polje ima prekid pod 180°, privid objekta naglo divergira prema jedinom preostalom rubu te granice - u beskonačnosti. (U taj kuriozitet se možete jednostavno uvjeriti - ispružite pred sobom vertikalno dva prsta obje ruke. Zatim ih paralelno približavajte sebi dok ne prođu razinu oka. Što ste vidjeli (po pitanju njihove udaljenosti) kad su vam prošli upravo uz oko?)

Slika 3 – Privid ceste unutar punog vidnog polja

Slika 4 – Omjer prividne širine ceste pri gibanu (v = 260 km/h) i mirovanju

Još je zanimljivo proučiti relativno suženje ceste, tj. omjer prividne širine pri v = 260 km/h i pri mirovanju: Graf funkcije prikazan je Slikom 4. Jasno je uočljivo da je suženje slabije za udaljenije dijelove ceste, dok je izraženije za bliže segmente. Naravno, to vrijedi u slučaju kad pogledom pratimo sredinu ceste jer je udaljenost definirana u smjeru gibanja.

Također, razumljivo je da se sužavanje bolje primjećuje kad se brže odvija. Budući da ono ovisi o brzini, slijedi da se brzina mora brzo mijenjati, tj. akceleracija mora biti čim veća. Ono što prikazuje brzinu sužavanja je vremenska derivacija prividne širine ceste kao funkcije brzine koja je, pak, funkcija vremena. Zbog jednostavosti pretpostavimo da se čitavo vrijeme jednoliko ubrzavamo akceleracijom iz stanja mirovanja. U tom je slučaju brzina sužavanja, tj. derivacija prividne širine ceste dana s: Pri tome negativan predznak dolazi zbog smanjenja širine pri sužavanju. Graf ove funkcije u njenim relevantnim varijalama prikazan je na Slici 5. Analizom lako zaključujemo da što je promatrani dio ceste dalji i čim dulje ubrzavamo, to se prividna širina ceste sporije smanjuje.

Slika 5 – Brzina sužavanja ceste pri stalnom ubrzanju