Osnove teorije vjerojatnosti i matematičke statistike

Pravila polaganja usmenog ispita:

Ispitna pitanja podijeljena su u četiri grupe: A, B1, B2 i C. Student koji je položio pismeni ispit pristupa usmenom ispitu izvlačeći pitanje iz grupe A. Sjeda za stol i priprema koncept usmenog odgovora. Kad je spreman, odgovara i ako je odgovor pozitivan, izvlači po jedno pitanje iz grupa B1 i B2. Nakon pripreme koncepata usmeno odgovara i na osnovu odgovora biva ocijenjen ocjenama 1-4. Ako je ocjena 'vrlo dobar', student ima pravo izvlačiti pitanje iz grupe C za ocjenu 'izvrstan'. U slučaju da je ocjena usmenog ispita znatno bolja od ocjene pismenog ispita, student treba na ploči riješiti neriješene zadatke s pismenog ispita.

Pitanja iz grupe A:

1. Teorija vjerojatnosti: pokus; ishod; prostor elementarnih događaja; događaj; složen, nemoguć i siguran događaj. Prikaži pomoću Vennovih dijagrama.

2. Aksiomi vjerojatnosti. Svojstva: vjerojatnost komplementa, vjerojatnost presjeka isključivih događaja, vjerojatnost unije.

3. Uvjetna vjerojatnost, nezavisnost.

4. Slučajna varijabla (definicija). Diskretna raspodjela vjerojatnosti. Funkcija raspodjele (kumulativna).

5. Očekivanje, varijanca i standardna devijacija slučajne varijable. (diskretne i kontinuirane)

6. Binomna raspodjela: binomni pokus; raspodjela vjerojatnosti. Očekivanje i varijanca (iznos).

7. Kontinuirana slučajna varijabla (definicija). Funkcija gustoće vjerojatnosti; uvjeti. Funkcija raspodjele.

8. Normalna raspodjela: funkcija gustoće, uvjet normiranosti; očekivanje i varijanca.

9. Najvjerojatnija vrijednost mjerene veličine; princip najmanjih kvadrata; osnove teorije pogrešaka.

10. Gama-funkcija, definicija i svojstva.

11. Propagacija pogreške (pogreška posredno mjerene veličine).

12. Linearna regresija metodom najmanjih kvadrata: pretpostavke, normalne jednadžbe, najvjerojatnije vrijednosti parametara a i b.

Pitanja iz grupe B1:

1. Metode opisne statistike: populacija, uzorak, frekvencije, histogrami.

2. Metode opisne statistike: mjere položaja i raspršenja.

3. Definicije vjerojatnosti a priori i a posteriori. Stabilnost relativnih frekvencija.

4. Sustavno određivanje vjerojatnosti; jednako vjerojatni ishodi. Teorem o uzastopnom prebrojavanju.

5. Permutacije i varijacije bez ponavljanja; permutacije i varijacije s ponavljanjem.

6. Kombinacije bez ponavljanja; binomni razvoj; kombinacije s ponavljanjem.

7. Potpun sistem događaja; zakon totalne vjerojatnosti; Bayesov teorem.

8. Očekivanje i varijanca funkcije slučajne varijable (diskretne i kontinuirane); specijalno: očekivanje i varijanca linearne kombinacije.

9. Momenti višeg reda (središnji i pomoćni); Koeficijent asimetrije i koeficijent spljoštenosti. Funkcija izvodnica; određivanje pomoćnih momenata; formula za središnje momente.

10. Binomna raspodjela: funkcija raspodjele, rekurzivna formula, najvjerojatnija vrijednost; izvodnica.

11. Binomna raspodjela: očekivanje i varijanca. (izvod)

12. Poissonova raspodjela vjerojatnosti, funkcija raspodjele, očekivanje i varijanca.

13. Primjena Poissonove raspodjele: granični slučaj binomne raspodjele; zakon malih brojeva (Poissonovi procesi).

14. Standardna normalna slučajna varijabla i raspodjela. Intervali pouzdanosti.

Pitanja iz grupe B2:

1. Standardna gamma raspodjela. Hi-kvadrat raspodjela.

2. Dvodimenzionalne raspodjele: združena raspodjela vjerojatnosti, rubne raspodjele, uvjetne raspodjele, nezavisnost.

3. Dvodimenzionalne raspodjele: očekivanja, momenti, kovarijanca, korelacija.

4. Slučajni uzorak; prosjek i total. Linearna kombinacija slučajnih varijabli; očekivanje i varijanca prosjeka i totala.

5. Središnji granični teorem. Linearna kombinacija normalnih slučajnih varijabli;

6. Procjena parametara osnovnog skupa na temelju uzorka; nepristrani procjenjitelj očekivanja populacije; nepristrani procjenjitelj varijance populacije.

7. Interval pouzdanosti prosjeka populacije iz n nezavisnih mjerenja. Standardna pogreška i preciznost mjerenja.

8. Mjerenja različitih statističkih težina; opća srednja vrijednost i nepouzdanost.

9. Linearna regresija: nedeterministički odnos, nezavisna i zavisna varijabla. Određivanje koeficijenata 'od oka'.

10. Nelinearne regresije: transformacija varijabli u linearne.

11. Regresija Y o X, regresija X o Y. Kovarijanca, standardizirane jednadžbe pravca, koeficijent korelacije, geometrijsko značenje.

12. Testiranje hipoteza: postavljanje problema, nul i alternativna hipoteza, kritično područje, vrste pogrešaka, signifikantnost i moć testa; opća pravila testa. Jednostrani i dvostrani testovi.

13. Hi-kvadrat test: stupnjevi slobode, kritična vrijednost; testiranje dobrote prilagodbe; jedan primjer (binomna, Poissonova ili normalna)

Pitanja iz grupe C:

1. Primjena kombinatorike u statističkoj fizici: Maxwell-Boltzmannova, Bose-Einsteinova i Fermi-Diracova pretpostavka.

2. Poissonova raspodjela: rekurzivna formula, funkcija izvodnica, pomoćni momenti, središnji momenti. Dvije nezavisne Poissonove slučajne varijable.

3. Hipergeometrijska raspodjela.

4. Pascalova (negativna binomna) raspodjela.

5. Hagenov izvod normalne raspodjele.

6. Normalna raspodjela kao aproksimacija binomne i Poissonove.

7. Stirlingova formula (izvod).

8. Integral

9. Općenita gamma raspodjela; eksponencijalna raspodjela, primjena.

10. Veza između normalne i hi-kvadrat raspodjele.

11. Metode procjenjivanja: metoda momenata, procjenjitelj najvjerojatnije vrijednosti, svojstva.

12. Linearna regresija: pouzdanost parametara a i b.

Ova pravila mogu se naći na www.phy.hr/otvims