Krešimir Kumerički 14. siječanj 1999.

Relacija između crvenog pomaka i udaljenosti

(vježbe iz kolegija Fizikalna kozmologija)

U svemiru opisanom Friedmann-Robertson-Walkerovom metrikom

$$ds^2 = c^2 dt^2 - S(t)^2 \left[ \frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2(d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2)\right]\;,$$

pokaži da su crveni pomak z svjetlosti nekog objekta i njegova ``prava'' udaljenost l, definirana kao

$$l(t) = S(t) \int_{0}^{r_1} \frac{dr}{\sqrt{1-kr^2}} \;,$$

povezani relacijom

$$z=\frac{H_0 l}{c} + \frac{1}{2}(1+q_0)\left(\frac{H_0 l}{c}\right)^2 + 0\left[\left(\frac{H_0 l}{c}\right)^3\right] \;,$$

gdje je H₀ Hubbleova konstanta, a q₀ parametar usporenja ekspanzije svemira.