Friedmannovi modeli

Friedmannova jednadzba je
        
sto u zracenjem dominiranom svemiru  (ρ ~ ) vodi na
        
gdje smo radi jednostavnosti stavili konstantu ispred -> 1.
To sad rijesimo uz rubni uvjet S(0)=0:

Od ova cetiri rjesenja prvo, drugo i trece su nefizikalna jer daju negativni S za mali t.
Cetvrto rjesenje mozemo nacrtati za k=-1, 0, +1:

S realisticnijim, materijom dominranim, svemirom imamo problema jer Mathematica
ne zna analiticki rijesiti jednadzbu:

Pokusat cemo stoga numericki integrirati tri jednadzbe za k=0,-1,+1. Rubni uvjet je sada
S(0.01)=0.01 jer se pri S(0)=0 uvjetu Mathematica buni da ima dijeljenje s  nulom:

Idemo sad to nacrtati uz pretpostavku (opravdanu metodom pokusaja i pogresaka) da
je drugo od dva ponudjena rjesenja fizikalno. Rezultati su manje vise dobri osim sto
se u k=+1 slucaju javljaju neke greske koje sprecavaju da se S(t) vrati na nulu.
Ne znam kako to rijesiti.