6.4.3 Izlazni šum i poopćeni Nyquistov teorem

Najopćenitija linearna veza vremenski ovisne pobude (`ulazne varijable') $U$ nekog sistema, i njegovog odgovora, mjerenog veličinom $I$ (`izlaznom varijablom'), jest konvolucija

$$I(t)=\int_{-\infty}^\infty Z(t-t')U(t')dt',$$ (6.56)

gdje se $Z(t)$ zove funkcija odgovora^6.2; veza među Fourierovim komponentama je, kao što znamo, bitno jednostavnija,

$$i(\omega)=z(\omega)u(\omega).$$ (6.57)

Prototip ovakvog izraza je Ohmov zakon, ili veza $\mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E}$ između električnog polja i dielektričnog pomaka. Iz ovoga odmah slijedi veza spektra snage ulaza i izlaza:

$$G_i(\omega)=\left\vert z(\omega)\right\vert^2G_u(\omega).$$ (6.58)

Ako se ovi spektri odnose na šum, onda imamo vezu šuma na ulazu i izlazu našeg uređaja.

Zamislimo, tako, da imamo ogledalo obješeno na torzionu nit, na koje djeluje fluktuirajuća sila, od udaraca molekula zraka ($I$ je moment inercije):

$$I\ddot{\theta}+\alpha\dot{\theta}+c\theta=A(t).$$ (6.59)

Za bilo koju pobudu $A(t)$ Fourierov transformat daje $\theta_\omega=z(\omega)a(\omega)$, gdje je funkcija odgovora

$$z(\omega)={1\over -I\omega^2+i\alpha\omega+c}.$$ (6.60)

Iz Wiener-Kintchineovog teorema imamo

$$\left<\theta^2\right>=C(0)={1\over 2\pi} \int_0^\infty G_\theta(\... ..._A\over 2\pi} \int_0^\infty \vert z(\omega)\vert^2d\omega={G_A\over 4\alpha c},$$ (6.61)

gdje smo pretpostavili da je spektar snage fluktuacija pobude $A(t)$ bijeli šum, tj. neovisan o frekvenciji.

Za proizvoljni spektar snage $G_A(\omega)$, možemo dobiti jednostavan oblik fluktuacije položaja, ako je gušenje malo ( $\alpha\ll\sqrt{cI}$), pa je oscilator ugođen na rezonantnu frekvenciju $\omega_0=\sqrt{c/I}$. Tada je

$$\left<\theta^2\right>={G_A(\omega_0)\over 4\alpha c}.$$ (6.62)

No sada, ako pretpostavimo da je mogućnost ugađanja sistema na proizvoljnu frekvenciju nezavisna od sile trenja, odgovorne za konstantu $\alpha$, te da se sistem termalizira upravo zbog istih nasumičnih udara, koji dovode do fluktuacija položaja, možemo u termodinamičkoj ravnoteži upotrijebiti ekviparticioni teorem, da zaključimo

$$\left<c\theta^2\right>=kT,$$ (6.63)

pa se uspoređivanjem s prethodnim izrazom dobije

$$G_A(\omega_0)=(4kT)\cdot\alpha,$$ (6.64)

što je opet fluktuaciono-disipacioni teorem, u općenitijem kontekstu: spektar fluktuacija je bijeli šum ($\omega_0$ možemo proizvoljno namjestiti), koji je dan termalnim faktorom, pomnoženim nekom mjerom makroskopskog trenja, tj. disipacije. Da smo za oscilator uzeli električni $LRC$ krug, dobili bismo upravo originalni izričaj Nyquistovog teorema. Da smo iz jednadžbe gibanja ispustili član u $c$, vratili bismo se na analizu Brownove čestice.

Bitna je fizikalna pretpostavka u prethodnom izvodu, da je očekivana vrijednost $\left<\theta^2\right>$, do koje dolazi zbog udara, nasumičnih u vremenu, ista ona, do koje dolazi zbog fluktuacija unutar ansambla, a koja je dana ekviparticionim teoremom. (Da smo nasumično udarali prstom po ogledalu, to ne bi bilo tako!) Pri tome smo primijenili ekviparticioni teorem na makroskopsku varijablu, položaj ogledala; ovakva primjena termodinamike je eksperimentalno prvi put potvrđena raspodjelom koloidnih čestica u gravitacionom polju, kad je utvrđeno da ona slijedi barometrijsku formulu, iako su te čestice `velike'.